Proyectos para Estancias de Verano (Guanajuato)

Lista preliminar

Proyecto 1

Investigador: Héctor Chang-Lara (hector.chang@cimat.mx)
Título: Entrenamiento óptimo
Resumen: Proponemos modelar estrategias óptimas para el desempeño de una tarea bajo hipótesis de un número finito de intentos y con perfiles de aprendizaje.
Para mayores detalles: https://youtu.be/cAxTeaUL3i4
Número de estudiantes: 2
Perfil deseado: Haber aprobado los cursos de Cálculo Multivariable, Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales. Tener conocimientos de programación en cualquier lenguaje y probabilidad básica.
Modalidad: Híbrida (6 semanas). De ser posible por lo menos una semana de forma presencial en el CIMAT - Guanajuato.

Proyecto 2

Investigador: Renato Iturriaga (renato@cimat.mx)
Título: Dinámica Simbólica
Número de estudiantes: 2
Perfil deseado: Últimos semestres de Licenciatura
Modalidad: Presencial (en el mes de junio)

Proyecto 3

Investigador: Otto Héctor Romero Germán (otto.romero@cimat.mx)
Título: Ejemplos de variedades hiperbólicas aritméticas en dimensión 2 y 3
Resumen: La meta de este proyecto es estudiar geometría hiperbólica 2 y 3 dimensional en base a unos ejemplos muy concretos de variedades (u orbifolds en general) que vienen de Teoría de Números. El Teorema de rigidez (de Mostow–Prasad) para variedades hiperbólicas de volumen finito en dimensión mayor o igual 3, de manera informal nos dice que en esas dimensiones invariantes topológicos son invariantes geométricos hiperbólicos y viceversa. Un ejemplo sorprendente de esa conexión es la predicción de Kashaev de que el volumen (hiperbólico) del complemento de nudos hiperbólicos se puede obtener usando invariantes topológicos de nudos (Conjetura del volumen de Kashaev-Murakami-Murakami). Resumiendo, para variedades hiperbólicas de volumen finito de dimensión mayor o igual a 3 y que vienen de grupos en aritmética hay conexiones entre Topología ←→ Geometría ←→ Teoría de Números En palabras de Thurston: variedades aritméticas "...often seem to have special beauty."

El proyecto entonces pretende iniciarse en ese largo camino. Como primera parte de la estancia, y a modo de breve repaso, se propone hacer una recopilación de resultados y la teoría básica geometría hiperbólica 2-dimensional. Esto para poder repasar la construcción de la superficie modular, y al menos otra de las superficies de congruencia (las cuales son en general orbifolds) muy estudiados en teoría de números, dinámica, geometría espectral, etc. Por el Teorema de Gauss-Bonnet el área hiperbólica de un triángulo está determinada por sus ángulos. Después continuaremos con otro breve repaso de los conceptos principales de geometría hiperbólica 3-dimensional, sobre todo recordaremos la acción del grupo de isometrías hiperbólicas en el espacio hiperbólico para entender con detalle la construcción del alguna orbifold que viene de aritmética, por ejemplo podemos escoger el orbifold de Picard que usa los enteros de Gauss. Estudiamos entonces el volumen hiperbólico usando los ángulos diédricos de ciertos tetraedros obtenidos de la construcción de la variedad 
Perfil deseado: Geometría Diferencial y conceptos de topología general. Recomendable: Algún curso de variedades diferenciables
Número de estudiantes: 2
Modalidad: Híbrida, proyecto a desarrollar en 4 semanas.

Proyecto 4 (los lugares ya están asignados)

Investigadores: Gabriela Guzmán Guzmán y Adrián Zenteno Gutiérrez (gabriela.guzman@cimat.mx, adrian.zenteno@cimat.mx)
Título: Lean para párvulos
Resumen: La herramienta de software libre "Lean" es un asistente de prueba en desarrollo, el cual es usado para formalizar matemáticas; es decir "explicar matemáticas a una computadora" para que esta verifique que las pruebas de los teoremas son correctas. El objetivo del proyecto es que los estudiantes aprendan a utilizar Lean. Esperamos que al final de la estancia los alumnos sean capaces de formalizar y demostrar algunos teoremas sencillos de nivel licenciatura, en las áreas de teoría de números, álgebra, geometría y topología. 
Perfil deseado: Ser estudiante de la segunda mitad de la licenciatura.
Número de estudiantes: 2-3
Modalidad: Híbrida, las primeras 2 semanas (del 10 al 21 de julio) en modo presencial y las últimas dos (del 7 al 18 de agosto) en modalidad virtual.